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Also, when considering improper integrals , such as. Finally, it is often useful to consider the limit of a sequence of functions, such as.

Without allowing functions to take on infinite values, such essential results as the monotone convergence theorem and the dominated convergence theorem would not make sense.

Thus the topology is metrizable , corresponding for a given homeomorphism to the ordinary metric on this interval. For exponentiation, see Exponentiation Limits of powers.

These rules are modeled on the laws for infinite limits. However, it has several convenient properties:. Some singularities may additionally be removed.

On the other hand. From Wikipedia, the free encyclopedia. For the extension by a single point at infinity, see Projectively extended real line.

This article includes a list of references , related reading or external links , but its sources remain unclear because it lacks inline citations.

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Math Vault. That is, the real line is the set R of all real numbers, viewed as a geometric space , namely the Euclidean space of dimension one.

It can be thought of as a vector space or affine space , a metric space , a topological space , a measure space , or a linear continuum.

However, it is sometimes denoted R 1 in order to emphasize its role as the first Euclidean space. This article focuses on the aspects of R as a geometric space in topology , geometry, and real analysis.

The real numbers also play an important role in algebra as a field , but in this context R is rarely referred to as a line. For more information on R in all of its guises, see real number.

In addition to the above properties, the real line has no maximum or minimum element. It also has a countable dense subset , namely the set of rational numbers.

It is a theorem that any linear continuum with a countable dense subset and no maximum or minimum element is order-isomorphic to the real line.

The real line also satisfies the countable chain condition : every collection of mutually disjoint , nonempty open intervals in R is countable. In order theory , the famous Suslin problem asks whether every linear continuum satisfying the countable chain condition that has no maximum or minimum element is necessarily order-isomorphic to R.

This statement has been shown to be independent of the standard axiomatic system of set theory known as ZFC. The real line forms a metric space , with the distance function given by absolute difference:.

The metric tensor is clearly the 1-dimensional Euclidean metric. Since the n -dimensional Euclidean metric can be represented in matrix form as the n -by- n identity matrix, the metric on the real line is simply the 1-by-1 identity matrix, i.

The real line carries a standard topology , which can be introduced in two different, equivalent ways. First, since the real numbers are totally ordered , they carry an order topology.

Second, the real numbers inherit a metric topology from the metric defined above. The order topology and metric topology on R are the same. As a topological space, the real line is homeomorphic to the open interval 0, 1.

The real line is trivially a topological manifold of dimension 1. Up to homeomorphism, it is one of only two different connected 1-manifolds without boundary , the other being the circle.

It also has a standard differentiable structure on it, making it a differentiable manifold. Up to diffeomorphism , there is only one differentiable structure that the topological space supports.

The real line is a locally compact space and a paracompact space , as well as second-countable and normal. It is also path-connected , and is therefore connected as well, though it can be disconnected by removing any one point.

The real line is also contractible , and as such all of its homotopy groups and reduced homology groups are zero.

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